Laplace

Para esta entrega de laboratorio debo resolver el siguiente problema:

¿Cuál es la transformada de Laplace de la función f(t) que se muestra?

Entonces lo primero que se debe de hacer aquí es obtener las funciones que representan esa gráfica, como podemos ver serán 2, entonces las funciones quedan así:

Ahora empezamos la transformada de Laplace:

Como vemos esta primera transformada va a ser un 0, es por eso que no la tomaremos ya en cuenta, ahora sigue la transformada de f(t) = t-a

Lo que sigue es sacar las constantes y multiplicar los términos para separar en dos integrales:

Y sacamos la constante "a":

Y como podemos observar tendremos que integrar por partes la primera ecuación ya que de nuevo la segunda e^(-st) se va a eliminar porque evaluando límites nos da 0 , recordemos la ecuación de integración por partes para resolver la integral que nos queda:

[1]

Entonces identificamos la u, du, v y dv:

Ahora si sustituimos los términos para poder integrar:

De nuevo sacamos constantes y quitamos paréntesis:

Integramos y nos queda de la siguiente manera:

Ahora tenemos que comenzar a evaluar los límites:

Entonces empezamos a ver los términos semejantes para poder evaluar más cómodamente la función y nos queda algo así:

Ya una vez sustituido podremos ver que nos dará 0, quizá es un poco confuso pero ahora lo veremos, tenemos las "t" dentro del paréntesis, en uno aparece multiplicando y siendo potencia, y en el otro siendo potencia, que es lo que pasa cuando un número lo multiplicamos por infinito?, pues da infinito, sin embargo tenemos otro término elevado a la menos infinito y sabemos que elevando un número a la menos infinito nos da 0, entonces, esto nos da como resultado final un 0, ya que la potencia de e a la menos infinito llega más rápido a 0 de lo que la multiplicación llegaría al infinito, entonces tenemos:

Les muestro como es que comprobé esta parte:

Entonces ya solo nos queda por evaluar la "a", lo que nos da como resultado:

Referencias

[1] Integral por partes
Operaciones con infinito