Principios de demostraciones en validez

Para esta semana el ejercicio lo obtuve del pdf http://www.logicinaction.org/docs/ch4.pdf  y la manera de resolverlo también ya que venían ejemplos muy parecidos, es el siguiente:

Exercise 4.3 Translate the following sentences into predicate logical formulas:
(1) If John loves Mary, then Mary loves John too.
(2) John and Mary love each other.
(3) John and Mary don’t love each other.
(4) If John and Peter love Mary then neither Peter nor Mary loves John.


Ejercicio 4.3 Transforma las siguientes oraciones a formas lógicas predicativas:
(1) Si John ama a Mary, entonces Mary ama a John también.
(2) John y Mary sea aman uno al otro.
(3) John y Mary no se aman uno al otro.
(4) Si John y Peter aman a Mary entonces ni Peter ni Mary aman a John.


Podemos definir que X ama a Y con la siguiente y única expresión que necesitamos para transformar nuestros enunciados :
A(X, Y)


1. Si John ama a Mary, entonces Mary ama a John también. Entonces definimos con nuestra funcion A(X, Y) que recibe dos argumentos el primero la persona que hace la acción y el segundo quien la recibe. Al decir que John ama a Mary esto queda así: A(J, M) y como agregamos "entonces" osea una consecuencia de la primera agregamos el símbolo -> para ahora decir que Mary ama a John: A(M, J). Que queda como sigue:

A(J, M) ⇒ A(M, J)


2. John y Mary se aman uno al otro. En esta expresión a diferencia de la primera es que una cosa no es consecuencia de la otra lo que podemos agregar el conector lógico and para unir las nos funciones, una que exprese que John ama a Mary A(J, M)  y otra que Mary ama a John A(M, J).

A(J, M) ^ A(M, J)


3. John y Mary no se aman uno al otro. Es muy parecida a la anterior pero hay que negar las dos funciones, y las seguimos uniendo con un and.

¬(A(J, M) ^ A(M, J))


4. Si John y Peter aman a Mary entonces ni Peter ni Mary aman a John. Para expresar este enunciado en lógica predicativa tenemos que dividirlo en dos primero escribir que "John y Peter aman a Mary" con la expresión: A(J, M) ^ A(P, J) y después "ni Peter ni Mary aman a John" con la expresión:

¬A(P, J) ^ ¬A(M, J), y ahora si unirlas con el conector -> que expresa que Si John y Peter aman a Mary entonces ni Peter ni Mary aman a John:

(A(J, M) ^ A(P, M)) ⇒ (¬A(P, J) ^ ¬A(M, J))