Controlabilidad y Observabilidad

PM11.11. Considera el sistema

Utilizando las funciones ctrb y obsv, mostrar que el sistema es controlable y observable.

Definiciones:

• Matriz de observabilidad: Un sistema lineal es completamente observable solo si la matriz de observabilidad se obtiene de A donde A es una matriz de nxn. En sistemas lineales el sistema es observable si el determinante de la matriz de observabilidad es diferente de 0.

• Matriz de controlabilidad: Un sistema lineal es totalmente controlable si el determinante de la matriz de controlabilidad nxn es diferente de 0. 

Se puede comprobar la controlabilidad y la observabilidad de un sistema realimentado en variables de estado usando las funciones de Octave ctrb y obsv, respectivamente.
Las entradas a la función ctrb son la matriz del sistema A y la matriz de entrada B; la salida de ctrb es la matriz de controlabilidad Pc.
Las entradas a la función obsv es la matriz A y la matriz  C; la salida es la matriz de observabilidad Po.

Teniendo la teoría necesaria se puede comenzar a resolver el problema, en donde identificamos la
A = [-1 1 0; 4 0 -3;-6 8 10 ], la B = [1;0;-1] y la C = [1 2 1].
Y así queda el programa:

	%Este codigo calcula la observabilidad y la controlabilidad
	%de un sistema
	%
	function res = ObsCont()
	printf('Matriz A \n')
	A = [-1 1 0; 4 0 -3;-6 8 10]
	%matriz B
	printf('Matriz B \n')
	B = [1; 0; -1]
	%matriz C
	printf('Matriz C \n')
	C = [1 2 1]
	%se calcula la matriz de controlabilidad
	printf('La matriz de controlabilidad es \n')
	Pc = ctrb(A, B)
	%n es el determinante de la matriz de controlabilidad
	printf('El determinante es \n')
	n=det(Pc)
	%si es diferete de 0 es controlable
	if abs(n) != 0
	printf('Es controlable\n')
	else
	printf('No es controlable\n')
	end
	printf('La matriz de observabilidad es \n')
	Po = obsv(A,C)
	%si es diferete de 0 es observable
	if abs(n) != 0
	printf('Es observable\n')
	else
	printf('No es observable\n')
	end
	end

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La ejecución:

	octave:5> source('contobs.m')
	octave:6> ObsCont()
	Matriz A
	A =
	-1 1 0
	4 0 -3
	-6 8 10
	Matriz B
	B =
	1
	0
	-1
	Matriz C
	C =
	1 2 1
	La matriz de controlabilidad es
	Pc =
	1 -1 8
	0 7 44
	-1 -16 -98
	El determinante es
	n = 118
	Es controlable
	La matriz de observabilidad es
	Po =
	1 2 1
	1 9 4
	11 33 13
	Es observable

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Y podemos ver con el programa que el sistema es observable y controlable.


Referencias

Sistemas de control moderno, 10a edición, Richard C. Dorf, Robert H. Bishop, PEARSON.